Оценка случайной погрешности

При обработке результатов измерения величины, которая имеет определенное значение, но в результате влияния различных случайных факторов измеряется нами с некоторой случайной ошибкой, возникает задача - используя конечный набор эмпирических данных, полученных в выборке из n измерений, найти “наилучшее” значение оценки xприб точного (истинного) значения измеряемой величины xист и определить точность наших измерений. Для оценки истинного значения измеряемой величиныxист используется выборочное среднее значение (среднее арифметическое по выборке):

(1)

В качестве наилучшей оценки случайной погрешности отдельного измерения принимается выборочное стандартное отклонение результата отдельного измерения (среднеквадратичное отклонение результата отдельного измерения):

(2)

При увеличении числа измерений n величина sn стремится к константе.

В случае нормального закона распределения погрешностей измерения, вероятность того, что измеряемая величина лежит в интервале xист - ∆ ≤ x ≤xист +∆, определяется выражением:

где введены обозначения:

-среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение). Значения интегралов для различных t вычислены и приведены в соответствующих справочниках. Например при t=1 (∆=) , вероятность P(t)=0.683; для t=2 (∆=2), P(t)=0.955; для t=3 (∆=3), P(t)=0.997.

Таким образом задавая интервал (доверительный интервал) xист - ∆ ≤ x ≤xист +∆, можно по формуле (7) вычислить вероятность (достоверность) P= P(t) попадания измеряемой величины в заданный интервал.

На практике часто возникает обратная задача; при заданной вероятности P надо найти доверительный интервал ∆=t(P)𝜎 . Тогда результат обработки результатов измерений записывается в следующем виде:

Среднеквадратичная ошибка среднего и распределение Стьюдента

Хотя оценка величины погрешности одного измерения xi и представляет интерес, тем не менее гораздо важнее знать с какой точностью значение , найденное нами из некоторой выборки, соответствует истинному значению искомой величины xист. Поскольку найдено из ограниченного числа измерений, то повторяющиеся серии измерений давали бы нам новые значения . То есть, эмпирические средние тоже являются случайной величиной и их поведение можно описать некоторой функцией распределения относительно величины математического ожидания со своей дисперсией sx. Теория показывает, что если определено из n измерений, то выборочное стандартное отклонение среднего арифметического (среднеквадратичная погрешность среднего значения) определяется как:

Выражения (4-6) получены для конечного числа измерений n. Поэтому плотность вероятности распределения погрешностей измерений () отличается от нормального (Гаусового) закона распределения, справедливого при n→∞. Закон распределения погрешностей измерений при конечном значении n называется t-распределением или распределением Стьюдента. В этом случае значения коэффициентов t будут зависеть не только от вероятности P, но и от числа измерений n, т.е. t=t(P,n), где n=n-1. Значения коэффициентов t(P,n) приведены в соответствующих справочниках и называются коэффициентами Стьюдента.

Задавшись определенной доверительной вероятностью P и числом измерений n можно по таблице (см. Приложение А) найти коэффициенты Стьюдента t(P,n) и определить доверительный интервал:

Перейти на страницу: 1 2

Прочтите также:

Разработка синтезатора звуковых сигналов с компрессией данных
Целью данного курсового проекта является разработка синтезатора звуковых сигналов с компрессией данных, позволяющего осуществлять воспроизведение звуковых сообщений. Команды управл ...

РЛС обзора земной поверхности
РЛС обзора земной поверхности, предназначенные для картографирования земной поверхности, решения задач воздушной разведки и т.д., имеют высокую разрешающую способность, определяющую ...

Принцип работы счетчиков
С развитием электроники появился такой класс электронной техники, как цифровая. Эта техника предназначена для формирования, обработки и передачи электрических импульсных сигналов и пере ...

Основные разделы

2020 © Все права защищены! >> www.techeducator.ru